罗素是20世纪最伟大的哲学家之一，悖论的发现与悖论的
消除是他数学工作的核心。1901年5月，他发现了著名的罗素
悖论，并于1902年8月写信告诉弗雷格：
    集合分成两类：一类是集合不是它本身的元素，一类是集
合是它本身的元素，考虑所有前一种的集合类A，那么A属于
哪一类呢？如果A是后一种集合，根据定义，A的元素不该属
于A，即A是前一种集合；反过来，如果A是前一种集合，根
据定义，所有不是它自身元素的集合应该属于A，即它属于后
一种，所以A是前一种集合当且仅当A是后一种集合，这显然
是一个矛盾。
    后来他用一个生动的“理发师悖论”来形象地说明自己的
悖论。一个乡村理发师，自夸无人可比，他宣称自己当然不给
自己刮脸的人刮脸，但却给所有自己不刮脸的人刮脸。有一天
他发生了疑问，他是不是应该给自己刮脸？要是他自己给自己
刮脸，那么按照他的声明的前一半，他就不应该给自己刮脸；
但是要是他自己不给自己刮脸的话，则照他自夸的那样，又必
须给自己刮脸，于是这个理发师陷入了逻辑矛盾之中。
    在这之前实际上已经发现一些集合的“悖论”，如大序数
悖论及大基数悖论。这些集合论悖论都涉及到一些共同的东
西：“所有”或“全体”，
（1）所有集合的集合；
（2）所有基数的集合；
（3）所有序数的集合；
（4）所有不是自身元素的集合。
    看到了它们之间的共同性，康托尔认为，悖论容易解决，
只要你不说“所有”。他1899年在给戴德金的一封信中说：“如
果把一个总体中所有组分看成一个整体会导致矛盾，就不应该
把这一总体看成一个完成了的对象，我称这种总体为绝对无穷
或不相容的总体。”这样，他区别开相容集合与不相容集合而
把集合论限制在相容集合的范围，这样就把集合论的悖论轻易
地排除在集合论之外了。
    罗素悖论实质上同理发师悖论意思差不多，但是它涉及的
是最基本的集合论概念：元素、属于、集合。
    这个矛盾是如此简单明了，用的概念是如此基本，因此产
生了极大的震动。弗雷格收到罗素的信后，认为他的“算术的
基础动摇了”，戴德金认为他的实数理论也存在问题。庞加莱
等人开始否定无穷集合的理论，打算从根本上解决悖论。当然，
这样一来，悖论是消除了，但是真正可靠的数学也大部分化为
乌有。怎么办？这是摆在20世纪初数学家面前的必须解决的问
怎么办？这是摆在20世纪初数学家面前的必须解决的问题。

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